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<!DOCTYPE html>

<title>Inharmonizität</title>

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<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Inharmonizität</span></h1>

</header>

</div>

<p><b>Harmonizität</b>, <b>Inharmonizität</b> oder <b>Teiltonverstimmung</b> bezeichnet ein Phänomen schwingender <a href="Saite" title="Saite">Saiten</a>. Aber es ist auch generell ein Merkmal von akustischen Signalen <a href="Monophonie" title="Monophonie">monophoner</a>, <a href="Polyphonie" title="Polyphonie">polyphoner</a> oder <a href="Komplexit%C3%A4t" title="Komplexität">komplexer</a> Natur.

</p><p>Harmonizität <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{\mathrm {H} }}">

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</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/32db8e791eaa12e32afc8fc1d60386643e43e315.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {H} }" loading="lazy"></span> eines Klangs auf den Vielfachen der Grundfrequenz <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h\cdot f_{0}}">

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</p><p>Eng damit verbunden ist die Inharmonizität <b><span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{\mathrm {IH} }}">

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</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Physikalische_Entstehung">Physikalische Entstehung</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Schwingende_Saite">Schwingende Saite</h3></div>

<p>Bringt man eine Saite zum Schwingen, so kommt es zu einer sehr komplexen Bewegung der Saite: Sie schwingt sowohl in ihrer gesamten Länge als auch in Abschnitten und zwar in ihrer halben Länge, in ihrer Drittellänge, in ihrer Viertellänge usw. Diese Abschnitte schwingen schneller als die ganze Saite und zwar doppelt so schnell, dreifach so schnell, vierfach so schnell usw. Die Schwingung ihrer gesamten Länge erzeugt den <a href="Grundton" title="Grundton">Grundton</a> oder 1. <a href="Teilton" class="mw-redirect" title="Teilton">Teilton</a>, die jeweiligen Abschnitte die <a href="Oberton" title="Oberton">Obertöne</a>, das heißt den 2. Teilton, den 3. Teilton, den 4. Teilton usw.

</p><p>Die <a href="Frequenz" title="Frequenz">Frequenzen</a> der Teiltöne verhalten sich somit wie die ganzen Zahlen, also 1 : 2 : 3 : 4 …

</p><p>In der Praxis trifft man jedoch auf das Phänomen, dass die Obertöne schneller schwingen und damit höher klingen, als sie theoretisch sollten. Dieses Phänomen, das man Inharmonizität oder Teiltonverstimmung nennt, wurde Ende des 19. Jahrhunderts bekannt.

</p><p>Die Inharmonizität ist abhängig vom Durchmesser, der Länge, der Frequenz und dem <a href="Elastizit%C3%A4tsmodul" title="Elastizitätsmodul">Elastizitätsmodul</a> des Saitenmaterials. Ihr Wert verhält sich proportional zum Quadrat des Durchmessers der Saite, umgekehrt proportional zur 4. Potenz der Längenveränderung und umgekehrt proportional zum Quadrat der Frequenzänderung.

</p><p>Für die Praxis bedeutet dies, dass der Inharmonizitätswert steigt, je kürzer, dicker und schwächer gespannt die Saite ist, je „steifer“ sie ist. Ein hoher Wert für die Inharmonizität bedeutet, dass die Saite in sich „falsch“ oder zumindest „schlecht“ klingt. <a href="Klavier" title="Klavier">Klaviersaiten</a> weisen vor allem im <a href="Bass_(Akustik)" title="Bass (Akustik)">Bass</a> und <a href="Diskant" class="mw-redirect" title="Diskant">Diskant</a> deutliche Inharmonizitätswerte auf. Die Tatsache, dass die tiefsten Basstöne eines niedrigen Pianos – mit relativ kurzen, dafür aber dicken Basssaiten – auch für den Laien hörbar „schlechter“ klingen als bei einem langen Konzertflügel, findet ihre Begründung ganz wesentlich in der Inharmonizität.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Schwingende_Körper_allgemein"><span id="Schwingende_K.C3.B6rper_allgemein"></span>Schwingende Körper allgemein</h3></div>

<p>Die <a href="Akustische_Resonanzanalyse" title="Akustische Resonanzanalyse">Akustische Resonanzanalyse</a> von schwingenden Körpern zeigt, dass jeder Körper sein eigenes Schwingungsmuster erzeugt, das im einfachsten Fall hauptsächlich von einer Grundschwingung oder <a href="Eigenschwingung" class="mw-redirect" title="Eigenschwingung">Eigenschwingung</a> dominiert wird. Körper können zu unterschiedlichen Eigenschwingungen angeregt werden, wobei das Verhältnis der Schwingungen zueinander individuell von der Beschaffenheit des schwingenden Körpers bestimmt ist. Normalerweise stehen diese Eigenschwingungen in keinem ganzzahligen Verhältnis zueinander.<sup id="cite_ref-Thomas_Görne_2-0" class="reference"><a href="#cite_note-Thomas_Görne-2"><span class="cite-bracket">[</span>2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> Das Klangmuster besteht in diesem Fall meist aus einer hauptsächlich wahrnehmbaren Schwingung, der Grundschwingung, und aus vielen weiteren Schwingungen, die auch als <a href="Oberton" title="Oberton">Obertöne</a> betrachtet werden können, wobei diese nicht in einem harmonischen Zusammenhang mit dem Grundton stehen müssen. Jede Eigenschwingung hat für sich jedoch wieder ein individuelles Obertonspektrum, was zu einem komplexen Schallabbild führt.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Musikalische_Bedeutung">Musikalische Bedeutung</h2></div>

<p>Bis zu einem gewissen Maße ist die Inharmonizität aber auch für die Lebendigkeit des Klavierklanges verantwortlich. Ein günstiger Verlauf der Inharmonizität kann durch die entsprechende Konstruktion bzw. die optimale rechnerische Ermittlung der <a href="Mensur_(Musik)" title="Mensur (Musik)">Mensur</a> (Längen, Durchmesser und Spannung der einzelnen Saiten) erreicht werden. Der <a href="Klavierstimmer" title="Klavierstimmer">Klavierstimmer</a> muss in der Lage sein, die Inharmonizität eines Klavieres gehörsmäßig so weit zu beurteilen, dass trotz dieser „falschen Teiltöne“ das Instrument schließlich gut klingt. Dafür verwendet man unter anderem <a href="Streckung_(Musik)" title="Streckung (Musik)">Streckung</a>, d. h. aufeinanderfolgende Oktaven werden ein wenig vergrößert gegenüber ihrem normalen Frequenzverhältnis von 2:1. Aus dem bisher Gesagten ergibt sich auch, dass ein hundertprozentig exaktes Zusammenstimmen zweier nicht baugleicher Klaviere nicht möglich ist.

</p><p>Einfache elektronisch erzeugte Töne haben keine Inharmonizität und klingen deshalb unnatürlich. Dieser Höreindruck kann durch zusätzlich erzeugte inharmonische Frequenzen deutlich verbessert werden.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Modenkopplung">Modenkopplung</h2></div>

<p>Bei <a href="Streichinstrument" title="Streichinstrument">Streichinstrumenten</a> weisen im <a href="Pizzicato" title="Pizzicato">Pizzicato</a> die gezupften Saiten starke Inharmonizität auf. Diese verschwindet bei gestrichenen Saiten, denn die Bogenbewegung und der nichtlineare Haftgleiteffekt induzieren auf der Saite eine <a href="Modenkopplung" title="Modenkopplung">Modenkopplung</a>, die Saitenbewegung ist praktisch exakt periodisch. Modenkopplung gibt es auch bei Rohrblattinstrumenten wie der Klarinette. Zur Beschreibung des Obertonspektrums reicht daher im Normalfall ein <a href="Oberton#Grenzen_des_einfachen_Modells" title="Oberton">einfaches Modell</a> mit Obertönen in exakt ganzzahligen Verhältnissen zueinander.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Mathematische_Beschreibung">Mathematische Beschreibung</h2></div>

<p>Harmonizität und Inharmonizität eines Klanges <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m}">

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m}</annotation>

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</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.04ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle m}" loading="lazy"></span> werden wie folgt bestimmt:<sup id="cite_ref-3" class="reference"><a href="#cite_note-3"><span class="cite-bracket">[</span>3<span class="cite-bracket">]</span></a></sup><sup id="cite_ref-GunnarEisenberg_1-1" class="reference"><a href="#cite_note-GunnarEisenberg-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>

</p><p>Harmonizität:

</p>

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{\mathrm {H} }(m)=1-{\frac {2}{f_{0}}}\left({\frac {{\sum _{k=0}^{K}}{\vert f_{k}-k\cdot f_{0}\vert \cdot A_{m}^{2}(k)}}{{\sum _{k=0}^{K}}A_{m}^{2}(k)}}\right)\,}</annotation>

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</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5c3f246f52d3a9c35a3e8745ad17ea3a33a0f165.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:47.174ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle a_{\mathrm {H} }(m)=1-{\frac {2}{f_{0}}}\left({\frac {{\sum _{k=0}^{K}}{\vert f_{k}-k\cdot f_{0}\vert \cdot A_{m}^{2}(k)}}{{\sum _{k=0}^{K}}A_{m}^{2}(k)}}\right)\,}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>Inharmonizität:

</p>

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{\mathrm {IH} }(m)=1-a_{\mathrm {H} }(m)\,}</annotation>

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</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/979072819ccc4f4a4859ecb4a3a6c35467d32a21.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:21.171ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle a_{\mathrm {IH} }(m)=1-a_{\mathrm {H} }(m)\,}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>Der Bereich, der durch Harmonizität abgedeckt wird, ist kleiner 0,1.

</p>

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f_{a}-k\cdot f_{0}\leq f_{a}\,}</annotation>

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</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7ef84bf94e2f1420dd80df0c07433781d17c8078.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:15.892ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f_{a}-k\cdot f_{0}\leq f_{a}\,}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-GunnarEisenberg-1"><span class="mw-cite-backlink">↑ <sup><a href="#cite_ref-GunnarEisenberg_1-0">a</a></sup> <sup><a href="#cite_ref-GunnarEisenberg_1-1">b</a></sup></span> <span class="reference-text">Gunnar Eisenberg: <cite style="font-style:italic">Identifikation und Klassifikation

von Musikinstrumentenklängen in monophoner und polyphoner Musik</cite>. Cuvillier Verlag, 2008, ISBN 978-3-86727-825-6, <span style="white-space:nowrap">S.<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>77<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>ff</span>. (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://cuvillier.de/get/ebook/1262/9783867278256.pdf">cuvillier.de</a> [PDF]).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Inharmonizit%C3%A4t&rft.au=Gunnar+Eisenberg&rft.btitle=Identifikation+und+Klassifikation%0Avon+Musikinstrumentenkl%C3%A4ngen+in+monophoner+und+polyphoner+Musik&rft.date=2008&rft.genre=book&rft.isbn=9783867278256&rft.pages=77ff&rft.pub=Cuvillier+Verlag" style="display:none"> </span></span>

</li>

Thomas Görne: <cite style="font-style:italic">Tontechnik: Hören, Schallwandler, Impulsantwort und Faltung, digitale Signale, Mehrkanaltechnik, tontechnische Praxis</cite>. 2014, ISBN 3-446-44149-2, <span style="white-space:nowrap">S.<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>54</span> (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.de/books?id=j1gtBQAAQBAJ&pg=PA54&q=19.+Teilton#v=onepage">eingeschränkte Vorschau</a> in der Google-Buchsuche).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Inharmonizit%C3%A4t&rft.au=Thomas+G%C3%B6rne&rft.btitle=Tontechnik%3A+H%C3%B6ren%2C+Schallwandler%2C+Impulsantwort+und+Faltung%2C+digitale+Signale%2C+Mehrkanaltechnik%2C+tontechnische+Praxis&rft.date=2014&rft.genre=book&rft.isbn=3446441492&rft.pages=54" style="display:none"> </span></span>

</li>

<li id="cite_note-3"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-3">↑</a></span> <span class="reference-text">Geoffroy Peeters: <cite style="font-style:italic">A large set of audio features for sound description

(similarity and classification)

in the CUIDADO project</cite>. 23. April 2004, <span style="white-space:nowrap">S.<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>17</span> (<a rel="nofollow" class="external text" href="http://recherche.ircam.fr/anasyn/peeters/ARTICLES/Peeters_2003_cuidadoaudiofeatures.pdf">ircam.fr</a> [PDF]).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Inharmonizit%C3%A4t&rft.au=Geoffroy+Peeters&rft.btitle=A+large+set+of+audio+features+for+sound+description%0A%28similarity+and+classification%29%0Ain+the+CUIDADO+project&rft.date=2004-04-23&rft.genre=book&rft.pages=17" style="display:none"> </span></span>

</li>

</ol></div><div><div class="zim-footer">

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